窄带随机信号x(t)的数学表示：

- 发射信号的中心频率
- 慢变的随机函数

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希尔伯特(Hilbert)变换

希尔伯特变换常在通信理论中用来处理窄带信号。
假定输入x(t)经过滤波器H(ω)后产生输出y(t)。如果H(ω)具有以下特性：
（1） 幅频特性是全通型的。
（2） 相频特性是-90°相移。
这时滤波器的输出y(t)便称为x(t)的希尔伯特变换，用 表示。H(ω) 称为希尔伯特变换器。
可见，它实质就是全频带的-90°相移网络。

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解析信号和复数包络

将x(t)和它的希尔伯特变换结合起来组成一个复值信号：

xa(t) 就称为x(t) 的解析信号

那么对于窄带信号

它的希尔伯特变换：

它的解析信号：

定义：

则有：

式中： - 复数包络
- 包络函数
- 相位函数

当x(t)是随机信号时， x(t)、xa(t) 和 的功率谱之间有如下关系：
1. xa(t)的功率谱 的构成：将 的负频率部分取消，正频率部分加大四倍。
2. 的功率谱 的构成：将 沿频率轴向左移ω0，便得到了

上图为 x(t)、xa(t) 和 的功率谱

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窄带随机信号的正交分量表示法

对于窄带随机信号

可以用三角函数的和差公式展开成

式中：

上式称为窄带信号的正交分量表示法。

如果把nc(t)和ns(t)合成复值信号v(t)=nc(t)+jns(t)，则有

可见，v(t)就是x(t)的复数包络函数，它的功率谱应该具有上图所示的特征。